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Der Comptoneffekt – Deutung und Herleitung der Formel

Der Comptoneffekt kann als elastischer Stoß eines Energiequants mit einem praktisch freien Elektron gedeutet und berechnet werden. Dabei ändert das Quant seinen Impuls nach Richtung und Betrag, also auch seine Energie und seine Wellenlänge. Die Wellenlängenänderung λ' – λ ist (s.u.) nur vom Streuwinkel β abhängig und nicht von der ursprünglichen Wellenlänge. Das ist schon komisch. Wenn man davon ausgeht, dass Elektronen klassische Teilchen sind, kann man den Effekt als "Beweis" für die Teilchennatur der Quanten auffassen. Da man aber z.B. aus der Elektronenbeugung weiß, dass das Verhalten von Elektronen nicht so eindeutig ist, sollte man mit dem Beweisbegriff hier vorsichtig sein und sich darauf beschränken, den Comptoneffekt einfach als Beleg für den Impuls der Quanten ansehen, der mit der Formel p = h / λ berechnet werden kann. Es gibt viele Herleitungen der "Formel zum Effekt". Mir gefällt besonders gut die aus dem Physikbuch von Gerthsen (Springer-Verlag, aktueller Autor des Buches ist Dieter Meschede).

Ein Röntgenquant mit der Energie W = h ⋅ f und dem Impuls p = h / λ trifft auf ein Elektron, das z.B. als Leitungselektron in einem Metall praktisch frei beweglich ist (oberer Teil des Bildes) und vor dem Zusammenstoß als praktisch ruhend betrachtet werden kann. Beim Zusammenstoß, bei dem das Quant um den Winkel β gestreut wird, gelten der Energieerhaltungssatz (h⋅f – h⋅f' = 1/2 m_e⋅v²) und der Impulserhaltungssatz (unterer Teil des Bildes). Geht man davon aus, dass die Impulsänderung des Quants und damit β klein ist, kann man die Rechnung vereinfachen. Die Formel stimmt trotzdem allgemein. Experimentell müsste man sonst darauf achten, die gestreuten Quanten nur bei kleinen Streuwinkeln zu beobachten!
Das Dreieck ABC ist fast rechtwinklig, woraus folgt: sin(β/2) = 1/2 m_e⋅v/(h / λ) = m_e⋅v⋅h / 2λ Wenn man diese Gleichung zunächst nach m_e⋅v umstellt, dann quadriert und durch 2m_e dividiert, kann man sie mit dem Energiesatz kombinieren. Man erhält: h⋅f – h⋅f' = 2h²/(m_eλ²) ⋅ sin²(β/2). Mit etwas fortgeschrittener Bruchrechnung und der schönen trigonometrischen Beziehung 2 sin²(β/2) = 1–cos(β) erhält man schließlich die bekannte Formel für die Wellenlängenänderung bei der Comptonstreuung: λ' – λ = h/(m_e⋅c) ⋅ (1-cos(β))
Der Faktor vor dem Cosinus ist eine Wellenlänge und hat den Wert 2,43pm (Comptonwellenlänge). Sie hat eine besondere Bedeutung: Quanten mit dieser Wellenlänge haben eine Energie, die der Ruhemasse des Elektrons nach Einsteins Gleichung E=m⋅c² äquivalent ist. Sie sind also recht ordentliche "Brocken", wenn ihre Masse auch nicht klassisch zu wiegen ist. Bemerkenswert an der Formel ist auch, dass sie die ursprüngliche Wellenlänge des Quantes nicht enthält. Die maximale Wellenlängenänderung ergibt sich bei Rückwärtsstreuung (β = 180°).
Der Versuchsaufbau zum Comptoneffekt hängt natürlich von der Geräteausstattung ab. Hier wird der Aufbau mit der Röntgenröhre und Kupfer-, bzw. Zirkonfilter beschrieben. Der Versuch ist alles andere als spektakulär aber trotzdem lehrreich.