Lineare Algebra / Analytische Geometrie


Didaktisch-methodische Überlegungen


In dem Kurs Lineare Algebra / Analytische Geometrie werden zwei Grundvorstellungen des Mathematikunterrichts miteinander in Verbindung gebracht. Es kann hier eine starke Anwendungsrelevanz gezeigt, andererseits können daraus theoretische Konzepte und Anfänge einer mathematischen Theorie entwickelt werden.
Von diesen Basisvorstellungen ausgehend kann damit begonnen werden, einfache Objekte des dreidimensionalen Anschauungsraums mit Hilfe von Vektoren zu beschreiben und zu untersuchen. Bei diesem Einstieg, in dem die Geometrie im Vordergrund steht, soll auch das räumliche Vorstellungsvermögen durch die Betrachtung von Modellen und durch zeichnerische Darstellungen von räumlichen Gebilden gefördert werden.

Mit Hilfe von Vektoren werden Geraden und Ebenen dargestellt und geometrische Fragestellungen erklärt und beschrieben, so dass schließlich strukturelle Sachverhalte entwickelt werden können. Als notwendiges Handwerkszeug ist ein tragfähiges Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme unerlässlich. Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme, wie z.B. das Gauß-Verfahren, lassen eine Computerunterstützung angezeigt erscheinen.

Neben Anwendungen in der Geometrie sollen die Schülerinnen und Schüler erfahren, dass die hier entwickelten Begriffe, Konzepte und Verfahren auch in anderen Gebieten grundlegend und bedeutungsvoll sind. Nur im Leistungskurs wird mehr Wert auf Begrifflichkeit und Systematik gelegt. Ebenso können wohl auch nur hier Kreis oder Kugel angesprochen werden.

Neben geometrischen Fragestellungen eignet sich auch die Diskussion zahlreicher Anwendungen zum Einstieg in das Kursthema, die allesamt auf lineare Gleichungssysteme führen. Hier, bei größeren linearen Gleichungssystemen, sollte dann die Behandlung des Gaußschen Algorithmus breiten Raum einnehmen. Aber auch bei diesem Weg ist eine geometrische Interpretation von Lösungsmengen der linearen Gleichungssysteme zu empfehlen. Durch sie können strukturelle Aspekte verdeutlicht und herausgearbeitet werden. Durch die Matrix-Vektor-Schreibweise werden Matrizen eingeführt und möglicherweise Matrizenaddition oder Matrizenmultiplikation motiviert.

Eine umfangreichere Behandlung des Matrizenkalküls kann sich vor allem in Leistungskursen ergeben, wenn Matrizen mit linearen oder affinen Abbildungen in Zusammenhang gebracht werden. Hieraus öffnen sich viele Querverbindungen z.B. zu iterierten Funktionensystemen der fraktalen Geometrie oder zur Stochastik. Matrizen werden in zahlreichen Berufsfeldern und angewandten Wissenschaften zur Modellierung von Sachproblemen genutzt. Deshalb sollte der Anwendungsbezug nicht nur auf innermathematische Fragestellungen beschränkt bleiben. Beispiele für Anwendungsfelder, die für Modellbildungen geeignet sind: Input-Output-Analyse, Beschreibung von Prozessen durch Übergangsmatrizen (Warteschlangen, Maschinenkontrolle, Irrfahrtmodelle usw.). Hierbei können auch Simulationsprogramme eingesetzt werden.

In den Unterrichtsinhalten soll es nicht um die Deduktion mathematischer Theorien gehen. Die Begriffe und mathematischen Sätze werden als Werkzeuge verstanden, deren Bedeutung mehr in der Nützlichkeit liegt, geometrische Fragestellungen oder Problemstellungen aus anderen Gebieten zu beschreiben, zu erklären und zu lösen. So sollten auch im Leistungskurs exakte Beweise nur exemplarisch durchgeführt werden.

Die Arbeit mit Tabellen, Formelsammlungen, Materialien aus Anwendungsbezügen, Zeitschriften usw. und der Einsatz von Medien erweitern die Möglichkeit der Selbstständigkeit und der Teamarbeit und bieten.

Anregungen zum fachübergreifenden und fächerverbindenden Arbeiten:
Physik
  • Vektorrechnung, Skalarprodukt, Vektorprodukt
Physik, Gemeinschaftskunde
  • Lineare Gleichungssysteme im Zusammenhang mit Verkehrsleitsystemen
Fächer des gesell- schaftswissenschaftlichen Aufgabenfeldes
  • Matrizenrechnung bei Produktionsabläufen, Skalarprodukt beim Rechnen mit Listen, usw.
Kunst (Architektur)
  • Räumliche Gebilde, Dach- und Fassadenflächen, Längen von Begrenzungslinien, Winkel zwischen Gebäudekanten usw.
  • Erdkunde Biologie
Abstandsbestimmungen in der Kartographie (z.B. unter Berücksichtigung von Höhenlinien)
  • Matrizenrechnung bei Populationsentwicklungen

Quelle: Hessisches Kultusministerium, Lehrplan Mathematik (G9, Auszug)