Vektoren und Vektorräume


Schüler begegnen Vektoren in der Regel zuerst im Physikunterricht als Hilfsmittel im Umgang mit physikalischen Größen, die außer einer Stärke (einem Betrag) auch eine Richtung haben. Das sind z.B. Kräfte oder Geschwindigkeiten. Typische Fragestellungen und Aufgaben sehen dann so oder so aus. Wenn man eine Weile mit Vektoren gearbeitet hat, bekommen sie ein Eigenleben: Man stellt fest, dass sie – ähnlich wie Zahlen – bestimmten Rechenregeln gehorchen und eine eigene Struktur aufweisen. Diese Struktur nennt man einen Vektorraum. Oft werden Vektoren mit einem Pfeil gekennzeichnet. Weil es hier einfacher ist, drucke ich sie fett. Es gibt dann den Vektor a und die Zahl a oder das neutrale Element des Vektorraums (den Nullvektor) 0 und die Zahl 0.

Ein Vektorraum ist eine Menge von Objekten, die zu den folgenden Spielregeln (Axiomen) passt:
  • Zu je zwei Elementen a und b des Vektorraums gibt es eine eindeutige Summe: c = a + b.
  • Die Summenbildung ist assoziativ ((a+b)+c = a+(b+c))und kommutativ (a+b=b+a).
  • Es gibt ein neutrales Element 0, das einen Vektor nicht verändert: 0 + a = a + 0 = a.
  • Es gibt zu jedem Vektor a ein inverses Element a-1 mit der Eigenschaft: a-1 ⋅ a = a ⋅ a -1 = 0.