Mathematische Behandlung der Kondensatorentladung


Wir denken uns zunächst einen geladenen Kondensator mit der Kapazität C. Er trägt auf der einen Platte die Ladung +Q und auf der anderen die Ladung –Q. Er enthält außerdem noch die zum Laden benötigte elektrische Energie (1/2⋅C⋅U2) und wird, wenn er in den gezeigten Stromkreis eingebaut wird, zu einer Spannungsquelle mit der Spannung U = Q / C. Diese Spannung bewirkt nach dem Schließen des Schalters einen Stromfluss durch den Widerstand R, der nach dem Ohmschen Gesetz berechnet werden kann: I = U / R. Die Stromstärke ist außerdem deinitionsgemäß die pro Zeit durch einen Leiterquerschnitt (z.B. grüne Fläche) fließende Ladungsmenge: I = Q / t. Die Ladung kommt natürlich vom Kondensator, so dass dessen Spannung und damit der Antrieb für den Stromfluss mit der Zeit abnimmt: Eine typische Situation für eine Differentialgleichung. Wir bauen sie auf und verwenden für die zeitliche Veränderung der Ladung die Schreibweise dQ/dt (lies: dee kuh nach dee tee). Q sollte eigentlich Q(t) heißen, weil es sich um eine mit der Zeit veränderliche Größe handelt, also eine Funktion der Zeit. Man schreibt aber einfach Q, weil es so übersichtlicher ist. Mit dem "–" vor dieser Veränderung drückt man aus, dass es sich um eine Abnahme handelt.

– dQ/dt = I = U / R = (Q / C) / R = Q / (R⋅C) also kurz: –dQ/dt =  Q / (R⋅C)

Die weiteren Schritte sind ganz einfach, wenn man die verwendeten Symbole sinnvoll interpretiert und anwendet. Insbesondere darf man sich von den Mathematikern nicht verbieten lassen, den Ausdruck dQ/dt wie einen normalen Bruch zu behandeln. Wir stellen um:

– dQ/dt =  Q / (R⋅C) ⇒ – dQ/Q = dt / (R⋅C) oder –1/Q dQ = 1/(R⋅C) dt

Jetzt erinnern wir uns an die Beziehung zwischen Ableitung und Integral. Beide Rechenarten sind gewissermaßen Umkehrungen voneinander. Das wenden wir zunächst formal an; das Ergebnis wird die Methode rechtfertigen:

–1/Q dQ = 1/(R⋅C) dt ⇒ – ∫ 1/Q dQ = ∫ 1/(R⋅C) dt = 1/(R⋅C)⋅∫dt

Auf der linken Seite der letzten Gleichung wird das Integral von 1/Q gesucht. Das ist der natürliche Logarithmus ln Q. Die rechte Seite sieht komisch aus. Man kann sich formal eine "1" dazu denken. Dann steht da ∫ 1 dt, was einfach t ist. Zusammen haben wir: –ln Q = 1/(R⋅C) ⋅ t. Das kann man nach Q auflösen und erhält Q = e–t / (R ⋅ C).
Wieder aus Gründen der Übersichtlichkeit habe ich bisher die (eigentlich willkürlichen) Integrationskonstanten unterschlagen, die zu beiden Integralen gehören. Man kann Sie auf einer Seite der Gleichung zu einer zusammenfassen, die nach dem Umstellen der Gleichung zu einem Faktor wird, den man als anfängliche Ladungen Q0 interpretiert. Insgesamt erhält man auf diesem Weg die Ladung des Kondensators als Funktion der Zeit: Q(t) = Q0 e–t / (R ⋅ C).
Das war doch gar nicht so schwer und bedeutet: Bei einem Kondensator nimmt die Ladung exponentiell mit der Zeit ab, wenn er über einen Widerstand entladen wird. Je größer der Widerstandswert und die Kapazität des Kondensators sind, desto länger dauert der Entladevorgang. Wirklich leer ist der Kondensator wegen der exponentiellen Abnahme genau genommen nie. Als charakteristische Größe für die Entladedauer gibt man die Halbwertsdauer ein. Sie hängt mit den Werten für C und R zusammen: t1/2= –ln (1/2) R C.

Im Beispiel Rakete wird die Methode noch einmal vorgestellt.