Start einer Rakete – die Ziolkowski-Gleichung


Der russische Volksschullehrer Konstantin Ziolkowski war von der Möglichkeit des Raketenfluges begeistert. Nach ihm ist die Gleichung bekannt, mit der man die mögliche Endgeschwindigkeit einer Rakete berechnen kann. Dazu braucht man die Startmasse einschließlich des Treibstoffes (m0), die Masse der leeren Rakete (Nutzlast m) und die Geschwindigkeit, mit der die Treibgase ausgestoßen werden (w). Sie hängt von der Temperatur der Verbrennung ab und beträgt bei der ersten Stufe der Ariane z.B. 4227m/s. Das Grundprinzip ist der Impulserhaltungssatz: Der Impuls der Rakete nimmt um den Impuls der ausgestoßenen Treibgase zu.
In jedem kurzen Moment wird eine "Portion" dm an Treibgas mit der Geschwindigkeit w ausgestoßen. Ihr Impuls ist w⋅dm. Das "–" in der Skizze und den Rechnungen drückt aus, dass die Masse der Rakete abnimmt. Wir rechnen sonst nur mit den Beträgen.
Da die in jedem Moment ausgestoßene Treibstoffmenge verglichen mit der Restmasse der Rakete klein ist, kann man so tun, als bliebe die Masse der Rakete in diesem kurzen Zeitpunkt konstant und sich nur die Geschwindigkeit um dv verändert. Die Bilanz ist deshalb: m⋅dv = –w⋅dm.
Wir stellen zuerst wie beim Kondensator um: m⋅dv = –w⋅dm ⇒ dv = –w/m dm und integrieren anschließend: ∫ dv = –w ∫ 1/m dm ⇒ v = –w ln m. Wichtig sind hier die Integrationsgrenzen, die sich leider in HTML schlecht schreiben lassen. Man integriert auf beiden Seiten sinngemäß über den gesamten Startvorgang, d.h. vom Stillstand der Rakete bis zur Endgeschwindigkeit v und von der voll betankten Rakete (m0) bis zur reinen Nutzlast (m). Nach dem Einsetzen der Grenzen in die Stammfunktion erhalten wir: v – 0m/s = –w⋅(ln m0 – ln m) = w⋅(ln m – ln m0) = w⋅ln (m/m0).
Das ist die Ziolkowski-Gleichung: v  = w⋅ln (m/m0).