Dimensionen 2 - der fraktale Fall


Kochkurve
Wir beginnen wieder mit einer einfachen Linie, die wir wie folgt abändern: Das mittlere Drittel wird entfernt und durch zwei Linien ersetzt, die beide ein Drittel der ursprünglichen Längeneinheit lang sind. Dabei kommt eine Zacke heraus. Das Ersetzspielchen wiederholen wir mit den jetzt vier Geradenstücken sinngemäß: Jede wird durch vier kürzere Linien (A = 4) ersetzt, die um den Faktor V = 1/3 skaliert wurden. Das Ergebnis sieht schon ganz interessant aus. Aber warum aufhören? Mathematiker lieben das Unendliche und die unendliche Wiederholung von Teilen und Ersetzen liefert die eigentliche Koch-Kurve. Würde man sie aus irgendeinem eigentlich glatten Material herstellen, dann würde sie sich trotzdem rau anfühlen, vielleicht wie ein Wollfaden. Sie wäre "mehr" als eine einfache Linie. Da sie außerdem bei jedem Schritt länger wird, ist ihre Gesamtlänge unendlich groß. Welche Dimension hat diese Linie?
Wir erinnern uns an A = (1/V)D und D = log(A) / log(1/V) und erhalten: D = log(4) / log(3) = 1,26186. Die Dimension der Koch-Kurve ist fraktal und größer als die einer gewöhnlichen Linie aber noch weit von der einer ordentlichen Fläche entfernt. Zufällig ist sie nicht so weit von der Dimension der britischen Küste entfernt.
Die fraktale Dimension ist bei diesem mathematischen Beispiel leicht zu berechnen, weil alle "Ersetzschritte" im Prinzip gleich sind. Das hat eine besondere Konsequenz: Jeder noch so kleine Teil der Kurve ähnelt dem Ganzen. Die Koch-Kurve ist im strengen Sinn selbstähnlich, d.h. sie besteht aus Kopien von sich selbst. Das kann man bei einer Küste nicht erwarten. Um die rein mathematische fraktale Dimension mit der in der Natur zu verbinden, verwendet man Maßstäbe, die man skaliert und zählt wie viele man bei jeder Vergrößerungsstufe braucht. Vor diesem Schritt in die Natur betrachten wir aber noch das SierpiƄski-Dreieck und stellen fest, dass seine Dimension genau 2 ist.