Das Feigenbaum-Diagramm


Feigenbaum-Programm
Einen allgemeinen Eindruck vom Verhalten der Verhulst-Dynamik bekommt man schon, wenn man sich die Kurven für verschiedene Werte von a einfach nacheinander ansieht. Besser ist es aber, das Langzeitverhalten in einem besonderen Diagramm anzusehen. Es ist nach dem Mathematiker Mitchell Feigenbaum benannt und heißt auch Bifurkationsdiagramm, was soviel wie "Verzweigungsdiagramm" bedeutet. Es entsteht so: Entlang der x-Achse werden verschiedene Werte von a in kleinen Schritte durchprobiert, z.B. zwischen 0.1 und 3.5 in Schritte zu 0.005. Für jeden Wert von a und beginnend mit y=0.1 werden dann die folgenden 500 y-Werte nach der Gleichung von Verhulst (Zeile 270) berechnet. Die y-Werte werden alle über diesem Wert nach oben aufgetragen. Das ist ein wenig so, als würde man eine der Kurven auf der y-Achse zusammenschieben. Das Programm enthält zwei Schleifen, die ineinander geschachtelt sind und außerdem den Befehl if ... then, mit dem der weitere Verlauf der Arbeit von einer Bedingung abhängig gemacht werden kann. Hier bewirkt er, das die ersten 200 Punkte nicht gezeichnet werden, s.u.
Feigenbaum-Diagramm
Damit das System Zeit hat, sich zu beruhigen, werden die ersten 200 Werte nur berechnet aber nicht gezeichnet (Zeile 280). "pset" zeichnet einen einzelnen Punkt und funktioniert auch ohne den Zusatz "graphics". Wenn sich eine Kurve auf einen konstanten Wert einpendelt, wie das für kleinere a-Werte der Fall ist, dann bleibt davon in diesem Diagramm nur ein Punkt. Zwei Punkte übereinander bedeuten, dass die Kurve nach dem ersten Anlaufen zwischen zwei Werten hin- und herpendelt und in den schwarzen Bereichen sehen wir das, was im Jargon "Chaos" heißt. Weder findet man einen festen Grenzwert noch ein regelmäßiges Pendeln. Überraschend tauchen hier und da wieder sehr viel regelmäßigere Bereiche auf. Man erkennt deutlich die Gabelungen (Bifurkationen). Das Diagramm ist nur schlecht aufgelöst. Man erkennt mehr, wenn man einzelne Ausschnitte darstellt.