Ein Chaos-Spiel


Den Zusammenhang zwischen Chaos und Geometrie zeigt auch sehr schön das folgende Spiel. Auf ein Blatt Papier wird ein ausreichend großes, gleichseitiges Dreieck gezeichnet. Die Eckpunkte heißen A, B und C (oben). Jetzt wird gewürfelt. Bei "1" oder "2" wird ein Punkt in der Mitte zwischen A und B gezeichnet. Ebenso bei "3" oder "4" zwischen B und C und bei "5" oder "6" zwischen C und B. Nun wird immer weiter gewürfelt. Nach der gleichen Einteilung der Würfelergebnisse wie zuvor geht man vom zuletzt gezeichneten Punkt den halben Weg nach A, B oder C. Um den Weg zu verfolgen, zeichnet man die Punkte etwas dicker und verbindet sie: Der Weg ist chaotisch. Wenn man viel Geduld hat oder die Werte von vielen Schülern per Folie zusammenfasst, dann erhält man mit der Zeit ein Punktmuster, das wegen der Wege aber schlecht zu sehen ist. Man überträgt deshalb besser nur die Punkte auf eine Folie.
Chaos-Spiel-Programm
Schneller geht es mit dem Computer. Für das Programm braucht man zusätzlich nur eine Funktion, die das Würfeln übernimmt. Sie heißt rnd. Das ist die Abkürzung von random und heißt Zufall oder zufällig. Mit rnd(7) bekommt man bei jedem Aufruf zufällige natürliche Zahlen zwischen 0 und 6! Einfacher ist hier die Verwendung von rnd(3) mit den Ergebnissen 0, 1, oder 2. Mit den schon bekannten Basic-Befehlen kommt man aus, wie das Programm zeigt. In Zeile 170 wird festgelegt, wie viele Punkte gezeichnet werden sollen. Bei 100 Punkten ist praktisch nichts zu erkennen und auch bei 1000 kann man meiner Meinung nach noch nicht entscheiden, ob irgendwann alles schwarz wird. Aber versucht doch mal 10000 oder 100000!
Die resultierende Figur hat der polnische Mathematiker Wacław Sierpiński zuerst beschrieben. Sie heißt deshalb Sierpiński-Dreieck. Wie besprechen sie im Zusammenhang mit den fraktalen Dimensionen genauer.