Dimensionen 1 - der klassische Fall


Die klassischen Dimensionen kann man sich anschaulich als Anzahl der verschiedenen Bewegungsmöglichkeiten vorstellen: Auf einem nulldimensionalen Punkt kann man sich überhaupt nicht bewegen. Die eindimensionale Linie kennt nur eine Bewegungsrichtung und auf der zweidimensionalen Ebene gibt es außer vor und zurück noch links und rechts. Der dreidimensionale Raum kennt zusätzlich noch oben und unten. Wenn jemand den Begriff Koordinate kennt, dann kann man die Dimensionen auch so erklären: Sie geben an, wie viele Koordinaten man braucht, um einen Punkt festzulegen. In der Ebene reicht z.B. P(2|3).
Wir verwenden hier eine andere Definition, die gewöhnungsbedürftig aber erweiterungsfähig ist. Wenn man eine gerade Linie hat und möchte sie durch halb so lange Linien ersetzen, dann braucht man dafür zwei Exemplare der kürzeren Linie. Haben die kurzen Linien nur ein Drittel der ursprünglichen Länge, dann braucht man natürlich drei davon. Wir schreiben die Längenänderung als "Vergößerung" um den Faktor 1/2 bzw. 1/3. Wenn man ein Quadrat aus halb so großen Quadraten bauen möchte, dann braucht man vier davon und wenn die Teile nur ein Drittel der ursprünglichen Größe haben, dann braucht man neun. Um einen Würfel aus halb so großen Würfeln zu bauen, braucht man acht kleine Würfel und bei den drittel Würfeln sind es sogar siebenundzwanzig. Mit der Dimension steigt der "Materialbedarf". In einer Tabelle sieht das so aus:

Dimension DVergrößerung VAnzahl A
11/22 = 21
11/33 = 31
21/24 = 22
21/39 = 32
31/28 = 23
31/327 = 33

Aus der Tabelle liest man als Regel ab: A = (1/V)D. Die Dimension ist demnach eine Art "Umrechnungsfaktor" zwischen Vergrößerung und Teileanzahl. Damit man keine Ausdrucksprobleme mit "vergrößern" und "verkleinern" hat, kann man den allgemeineren Begriff "skalieren" verwenden. Man skaliert also mit dem Faktor V. Für Logarithmenkenner stelle ich die Regel noch um: D = log(A) / log(1/V). Das klingt schon eindrucksvoll, wenn man es vorliest, erzählt über die Dimension nichts wirklich neues. Das kommt hier.